** Importance du premier terme sur le comportement d'une suite

On considère la fonction  `f` définie sur  `\mathbb{R}` par  \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x+\displaystyle\frac{3}{2}\) .
Soit  `a` un réel positif. On définit la suite  `(u_n)` définie par  `u_0=a` et, pour tout entier naturel `n` , par `u_{n+1}=f(u_n)` .

Le but de cet exercice est d’étudier le comportement de la suite  `(u_n)` lorsque  `n` tend vers `+\infty` , suivant différentes valeurs de son premier terme.

1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite  `(u_n)` lorsque  `n` tend vers `+\infty` , pour  `a=2,9` puis pour `a=3,1` .

2. Dans cette question, on suppose que la suite  `(u_n)` converge vers un réel \(\ell\)  et on admet qu'alors \(\ell\)  est solution de l'équation `f(x)=x` . Déterminer les valeurs possibles pour \(\ell\) .

3. Dans cette question, on prend  `a=2,9` .
    a. Montrer que `f` est croissante sur l’intervalle `[1;+\infty[` .
    b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , on a \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) .
    c. Montrer que  `(u_n)` converge et déterminer sa limite.

4. Dans cette question, on prend   `a=3,1`  et on admet que la suite  `(u_n)` est croissante.
    a. À l’aide des questions précédentes, montrer que la suite  `(u_n)` n’est pas majorée.
    b. En déduire le comportement de la suite  `(u_n)` lorsque  `n` tend vers \(+\infty\) .